以下の極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} $$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$$

2. 解き方の手順

まず、三角関数の和の公式を用いて、$\sin 3x + \sin x$ を変形します。

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$$

この公式に $A = 3x$、 $B = x$ を代入すると、

$$\sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \sin 2x \cos x$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x \cos x}{\sin 2x}$$

$\sin 2x \neq 0$ のとき、 $\frac{\sin 2x}{\sin 2x} = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x \cos x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} 2 \cos x$$

$\cos x$ は連続関数なので、極限は

$$\lim_{x \to 0} 2 \cos x = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$$

3. 最終的な答え

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