$\int \tan^{-1} x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \tan^{-1} x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分法を用います。

$u = \tan^{-1} x$、 $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、 $v = x$ となります。

部分積分法の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

次に、$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x \, dx$ より、 $x \, dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

ここで、$1+x^2$ は常に正なので、絶対値をはずしました。

よって、

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$