$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という極限の公式を利用します。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}}$

次に、分子と分母をそれぞれ調整します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$