与えられた積分 $\int e^{3x} \cos 2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{3x} \cos 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回適用することで解くことができます。

まず、$u = e^{3x}$, $dv = \cos 2x \, dx$ とします。すると、$du = 3e^{3x} \, dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int e^{3x} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 3e^{3x} \, dx$

$= \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \frac{3}{2} \int e^{3x} \sin 2x \, dx$

次に、$\int e^{3x} \sin 2x \, dx$ を部分積分で計算します。$u = e^{3x}$, $dv = \sin 2x \, dx$ とすると、$du = 3e^{3x} \, dx$, $v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。再び部分積分の公式を適用すると、

$\int e^{3x} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x - \int -\frac{1}{2} \cos 2x \cdot 3e^{3x} \, dx$

$= -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x + \frac{3}{2} \int e^{3x} \cos 2x \, dx$

この結果を最初の式に代入すると、

$\int e^{3x} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x - \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{3x} \cos 2x + \frac{3}{2} \int e^{3x} \cos 2x \, dx \right)$

$\int e^{3x} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x - \frac{9}{4} \int e^{3x} \cos 2x \, dx$

$\int e^{3x} \cos 2x \, dx$ を $I$ とおくと、

$I = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x - \frac{9}{4} I$

$\frac{13}{4} I = \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x$

$I = \frac{4}{13} \left( \frac{1}{2} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{4} e^{3x} \cos 2x \right)$

$I = \frac{2}{13} e^{3x} \sin 2x + \frac{3}{13} e^{3x} \cos 2x$

$I = \frac{1}{13} e^{3x} (2 \sin 2x + 3 \cos 2x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{13}e^{3x}(2\sin 2x + 3\cos 2x) + C$