(1) $y = \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ の導関数を求めよ。 (2) $y = x^x$ ($x > 0$) の導関数を求めよ。 (3) $\int \frac{x-18}{4-x^2} dx$ を求めよ。 (4) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ を求めよ。 (5) $\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx$ を求めよ。 (6) $\int_{1}^{\infty} \log \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$ を求めよ。

以下、与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $y = \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ の導関数を求めよ。

(2) $y = x^x$ ($x > 0$) の導関数を求めよ。

(3) $\int \frac{x-18}{4-x^2} dx$ を求めよ。

(4) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ を求めよ。

(5) $\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx$ を求めよ。

(6) $\int_{1}^{\infty} \log \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ の導関数を求める。

まず、対数の性質を使って式を簡略化します。

$y = \log |x-1| - \log |x+1|$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log |x-1| = \frac{1}{x-1}$

$\frac{d}{dx} \log |x+1| = \frac{1}{x+1}$

したがって、

$y' = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2 - 1}$

(2) $y = x^x$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log (x^x) = x \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(3) $\int \frac{x-18}{4-x^2} dx$ を求める。

部分分数分解を行います。

$\frac{x-18}{4-x^2} = \frac{x-18}{(2-x)(2+x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{2+x}$

$x - 18 = A(2+x) + B(2-x)$

$x = 2$ のとき、$-16 = 4A$, $A = -4$

$x = -2$ のとき、$-20 = 4B$, $B = -5$

したがって、

$\int \frac{x-18}{4-x^2} dx = \int \left(\frac{-4}{2-x} + \frac{-5}{2+x}\right) dx = \int \frac{4}{x-2} dx - \int \frac{5}{x+2} dx = 4 \log |x-2| - 5 \log |x+2| + C$

(4) $\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ を求める。

$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ を代入します。

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}} dx = \int \frac{1 + \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2) + 1 - \tan^2(x/2)} dx = \int \frac{1 + \tan^2(x/2)}{2} dx = \int \frac{\sec^2(x/2)}{2} dx = \tan(x/2) + C$

(5) $\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx$ を求める。

$\sin^6 x = (\sin^2 x)^3 = (\frac{1-\cos 2x}{2})^3 = \frac{1}{8} (1 - 3\cos 2x + 3 \cos^2 2x - \cos^3 2x)$

ここで、$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$、$\cos^3 2x = \cos 2x (1 - \sin^2 2x) = \cos 2x \frac{1 + \cos 4x}{2}$

$\int_{0}^{2\pi} \sin^6 x dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{2\pi} (1 - 3\cos 2x + 3 (\frac{1 + \cos 4x}{2}) - \cos 2x (1-\sin^2 2x)) dx = \frac{5\pi}{8}$

(6) $\int_{1}^{\infty} \log \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$ を求める。

部分積分を行います。$u = \log(1 + \frac{1}{x^2})$, $dv = dx$, $du = \frac{-2/x^3}{1 + 1/x^2} dx = \frac{-2}{x(x^2+1)} dx$, $v = x$

$\int_{1}^{\infty} \log \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx = [x\log(1 + \frac{1}{x^2})]_1^{\infty} - \int_1^{\infty} x \cdot \frac{-2}{x(x^2+1)} dx = [x\log(1 + \frac{1}{x^2})]_1^{\infty} + 2 \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$

$\lim_{x \to \infty} x\log(1 + \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + \frac{1}{x^2})}{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2/x^3}{1 + 1/x^2}}{-1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2/x}{1 + 1/x^2} = 0$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_1^{\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

よって、$\int_{1}^{\infty} \log \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx = -1 \log 2 + 2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2}{x^2 - 1}$

(2) $y' = x^x (\log x + 1)$

(3) $4 \log |x-2| - 5 \log |x+2| + C$

(4) $\tan(x/2) + C$

(5) $\frac{5\pi}{8}$

(6) $\frac{\pi}{2} - \log 2$