関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{x^2-1}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{x^2-1}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = \sqrt{x^2 - 1}$ とおくと、$y = \tan^{-1} u$ となります。

連鎖律を用いて、$dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx)$ を計算します。

まず、$dy/du$ を計算します。

$\tan^{-1} u$ の微分は $1/(1+u^2)$ なので、

$dy/du = \frac{1}{1 + u^2}$

となります。

次に、$du/dx$ を計算します。

$u = \sqrt{x^2 - 1} = (x^2 - 1)^{1/2}$ であるから、

$du/dx = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

となります。

したがって、

$dy/dx = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{1 + (x^2 - 1)} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$