関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{x-1}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1}\sqrt{x-1}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。

$y = \tan^{-1}(u)$ と $u = \sqrt{x-1}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\tan^{-1}(u)) = \frac{1}{1+u^2}$

次に、$u = \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2}$ を微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}((x-1)^{1/2}) = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

$u = \sqrt{x-1}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x-1})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{1+(x-1)} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$