以下の3つの関数について、$y$ の導関数 $y'$ を求めます。 (1) $y = \sin^2{x}$ (2) $y = 2^x$ (3) $x = e^y$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、$y$ の導関数 $y'$ を求めます。

(1) $y = \sin^2{x}$

(2) $y = 2^x$

(3) $x = e^y$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2{x}$ の場合：

合成関数の微分を行います。まず、$u = \sin{x}$ とおくと、$y = u^2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \cos{x}$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos{x} = 2 \sin{x} \cos{x} = \sin{2x}$

(2) $y = 2^x$ の場合：

指数関数の微分を行います。$y = a^x$ の導関数は $y' = a^x \ln{a}$ です。

したがって、$y = 2^x$ の導関数は

$y' = 2^x \ln{2}$

(3) $x = e^y$ の場合：

陰関数の微分を行います。両辺を $x$ で微分します。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx}e^y$

$1 = e^y \frac{dy}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \sin{2x}$

(2) $y' = 2^x \ln{2}$

(3) $y' = \frac{1}{x}$