与えられた積分を計算します。以下の積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx \quad (\alpha > -1)$ (4) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4+4}$ (5) $\int_{0}^{1} \log x dx$ (7) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$ (8) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$

分かりました。画像の積分問題を解きます。いくつか発散する積分が含まれているため、注意が必要です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。以下の積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx \quad (\alpha > -1)$

(4) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4+4}$

(5) $\int_{0}^{1} \log x dx$

(7) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

(8) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = -(0-1) = 1$

(2)

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx = [\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}]_{1}^{\infty}$

$\alpha > -1$ より $\alpha+1 > 0$なので、$\lim_{x\to\infty} x^{\alpha+1} = \infty$ となり、積分は発散します。

(4)

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4+4}$ を計算します。

$x^4+4 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ と因数分解できるので、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^4+4} = \frac{Ax+B}{x^2+2x+2} + \frac{Cx+D}{x^2-2x+2}$ とおきます。

$1 = (Ax+B)(x^2-2x+2) + (Cx+D)(x^2+2x+2)$

$1 = (A+C)x^3 + (-2A+B+2C+D)x^2 + (2A-2B+2C+2D)x + (2B+2D)$

$A+C=0, -2A+B+2C+D=0, 2A-2B+2C+2D=0, 2B+2D=1$

$A = \frac{1}{8}, B = \frac{1}{4}, C = -\frac{1}{8}, D = \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4+4} = \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}}{x^2+2x+2} + \frac{-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}}{x^2-2x+2} dx$

$\int_{0}^{\infty} \frac{\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}}{x^2+2x+2} + \frac{-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}}{x^2-2x+2} dx = \frac{\pi}{8}$

(5)

$\int_{0}^{1} \log x dx = [x\log x - x]_{0}^{1} = (1\cdot 0 - 1) - \lim_{x\to 0} (x\log x - x) = -1 - (0 - 0) = -1$

(7)

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int_{-1}^{1} x^{-2/3} dx = [3x^{1/3}]_{-1}^{1} = 3(1-(-1)) = 6$

(8)

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$

ただし、積分範囲に $x=0$ が含まれているため、厳密には$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2}$となり、それぞれ発散するため、この積分は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(4) $\frac{\pi}{8}$

(5) -1

(7) 6

(8) 発散