関数 $(x-3)(2x-1)$ を積分する。

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

関数 $(x-3)(2x-1)$ を積分する。

2. 解き方の手順

与えられた関数を展開し、多項式の積分を行う。

まず、$(x-3)(2x-1)$ を展開する：

$(x-3)(2x-1) = 2x^2 - x - 6x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$

次に、この多項式を積分する：

$\int (2x^2 - 7x + 3) \, dx = 2 \int x^2 \, dx - 7 \int x \, dx + 3 \int 1 \, dx$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$2 \int x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3$

$-7 \int x \, dx = -7 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{7}{2}x^2$

$3 \int 1 \, dx = 3x$

したがって、積分は次のようになる：

$\int (2x^2 - 7x + 3) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x + C$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

関数 $(x + \frac{1}{x})^2$ を積分する。

2. 解き方の手順

与えられた関数を展開し、多項式の積分を行う。

まず、$(x + \frac{1}{x})^2$ を展開する：

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$

次に、この多項式を積分する：

$\int (x^2 + 2 + x^{-2}) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2 \, dx + \int x^{-2} \, dx$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$

$\int 2 \, dx = 2x$

$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

したがって、積分は次のようになる：

$\int (x^2 + 2 + x^{-2}) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

## 問題2 (3)

1. 問題の内容

関数 $\frac{(x-1)(\sqrt{x}-2)}{x^2}$ を積分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理する。

$\frac{(x-1)(\sqrt{x}-2)}{x^2} = \frac{x\sqrt{x} - 2x - \sqrt{x} + 2}{x^2} = \frac{x^{3/2} - 2x - x^{1/2} + 2}{x^2} = \frac{x^{3/2}}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{x^{1/2}}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^{-1/2} - 2x^{-1} - x^{-3/2} + 2x^{-2}$

積分する：

$\int (x^{-1/2} - 2x^{-1} - x^{-3/2} + 2x^{-2}) dx = \int x^{-1/2} dx - 2\int x^{-1} dx - \int x^{-3/2} dx + 2\int x^{-2} dx$

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$

$-2\int x^{-1} dx = -2 \ln|x|$

$-\int x^{-3/2} dx = -\frac{x^{-1/2}}{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$2\int x^{-2} dx = 2 \frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1} = -\frac{2}{x}$

したがって、積分は次のようになる：

$\int (x^{-1/2} - 2x^{-1} - x^{-3/2} + 2x^{-2}) dx = 2\sqrt{x} - 2 \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x} - 2 \ln|x| + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x} + C$

## 問題2 (4)

1. 問題の内容

関数 $(e^x + e^{-x})^2$ を積分する。

2. 解き方の手順

与えられた関数を展開し、多項式の積分を行う。

まず、$(e^x + e^{-x})^2$ を展開する：

$(e^x + e^{-x})^2 = (e^x)^2 + 2e^x e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

次に、この多項式を積分する：

$\int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) \, dx = \int e^{2x} \, dx + \int 2 \, dx + \int e^{-2x} \, dx$

$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$ を用いると、

$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int 2 \, dx = 2x$

$\int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$

したがって、積分は次のようになる：

$\int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

## 問題2 (5)

1. 問題の内容

関数 $2^{x+1} + 3^{x+1}$ を積分する。

2. 解き方の手順

与えられた関数を積分する。

$\int (2^{x+1} + 3^{x+1}) \, dx = \int 2^{x+1} \, dx + \int 3^{x+1} \, dx$

$\int a^{x+1} \, dx = \int a^x \cdot a^1 \, dx = a \int a^x \, dx$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を用いると、

$\int 2^{x+1} \, dx = 2 \int 2^x \, dx = 2 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} = \frac{2^{x+1}}{\ln 2}$

$\int 3^{x+1} \, dx = 3 \int 3^x \, dx = 3 \cdot \frac{3^x}{\ln 3} = \frac{3^{x+1}}{\ln 3}$

したがって、積分は次のようになる：

$\int (2^{x+1} + 3^{x+1}) \, dx = \frac{2^{x+1}}{\ln 2} + \frac{3^{x+1}}{\ln 3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2^{x+1}}{\ln 2} + \frac{3^{x+1}}{\ln 3} + C$

## 問題2 (6)

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x}$ を積分する。

2. 解き方の手順

三角関数の恒等式を用いて積分可能な形に変形する。

$\frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \sec^2 x + \csc^2 x$

$\int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx = \int \sec^2 x dx + \int \csc^2 x dx$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

したがって、

$\int (\sec^2 x + \csc^2 x) dx = \tan x - \cot x + C$

3. 最終的な答え

$\tan x - \cot x + C$

## 問題2 (7)

1. 問題の内容

関数 $\cos^2 \frac{x}{2}$ を積分する。

2. 解き方の手順

半角の公式を用いて積分可能な形に変形する。

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

$\int \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx + \int \cos x dx)$

$\int 1 dx = x + C$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

よって、

$\int \cos^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} (x + \sin x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$

## 問題2 (8)

1. 問題の内容

関数 $\sin^3 x$ を積分する。

2. 解き方の手順

三角関数の恒等式を用いて積分可能な形に変形する。

$\sin^3 x = \sin x \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x \cos^2 x$

$\int \sin^3 x dx = \int (\sin x - \sin x \cos^2 x) dx = \int \sin x dx - \int \sin x \cos^2 x dx$

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \sin x \cos^2 x dx$ を計算するために、置換積分を行う。

$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$

したがって、$\int \sin x \cos^2 x dx = -\int u^2 du = -\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$

$\int \sin^3 x dx = -\cos x - (-\frac{\cos^3 x}{3}) + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

$-\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$

## 問題2 (9)

1. 問題の内容

関数 $\sin x \cos 2x$ を積分する。

2. 解き方の手順

三角関数の恒等式を用いて積分可能な形に変形する。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$

$\sin x \cos 2x = \sin x (1 - 2\sin^2 x) = \sin x - 2 \sin^3 x$

問題8の結果を使うと、

$\int \sin x \cos 2x dx = \int (\sin x - 2 \sin^3 x) dx = \int \sin x dx - 2 \int \sin^3 x dx$

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \sin^3 x dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

$\int \sin x \cos 2x dx = -\cos x - 2 (-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}) + C = -\cos x + 2\cos x - \frac{2}{3} \cos^3 x + C = \cos x - \frac{2}{3} \cos^3 x + C$

3. 最終的な答え

$\cos x - \frac{2}{3}\cos^3 x + C$

## 問題2 (10)

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{\tan^2 x}$ を積分する。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\tan^2 x} = \cot^2 x$

三角関数の恒等式 $\cot^2 x + 1 = \csc^2 x$ を使う。

$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx = \int \csc^2 x dx - \int 1 dx$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

$\int 1 dx = x + C$

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = -\cot x - x + C$

3. 最終的な答え

$-x - \cot x + C$

## 問題2 (11)

1. 問題の内容

関数 $\frac{x + \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}}$ を積分する。

2. 解き方の手順

分母を有理化する。

$\frac{x + \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}} = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})(x + \sqrt{x^2-1})}{(x - \sqrt{x^2-1})(x + \sqrt{x^2-1})} = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^2}{x^2 - (x^2-1)} = (x + \sqrt{x^2-1})^2 = x^2 + 2x\sqrt{x^2-1} + x^2 - 1 = 2x^2 - 1 + 2x\sqrt{x^2-1}$

$\int (2x^2 - 1 + 2x\sqrt{x^2-1}) dx = \int (2x^2 - 1) dx + \int 2x\sqrt{x^2-1} dx$

$\int (2x^2 - 1) dx = 2\frac{x^3}{3} - x + C = \frac{2}{3} x^3 - x + C$

$u = x^2 - 1$ とすると、$du = 2x dx$

$\int 2x\sqrt{x^2-1} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{3} (x^2-1)^{3/2} + C$

$\int \frac{x + \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}} dx = \frac{2}{3} x^3 - x + \frac{2}{3} (x^2-1)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^3 - x + \frac{2}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$

## 問題2 (12)

1. 問題の内容

関数 $\frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}$ を積分する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1-x^4} = \sqrt{(1-x^2)(1+x^2)} = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}$

$\frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}} + \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\int \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \sinh^{-1} x + C = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$

$\int \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}} dx = \arcsin x + \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin x + \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + C$