以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+4}-2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+4}-2}$

2. 解き方の手順

まず、このまま $x=0$ を代入すると、$\frac{0}{0}$ となり不定形となるため、変形する必要があります。

分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{x+4}+2$ を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+4}-2} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4}+2)}{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}$

分母を計算します。

$(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2) = (x+4) - 4 = x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+4}+2)}{x} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{x+4}+2)$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{x+4}+2 \to \sqrt{0+4}+2 = 2+2 = 4$

したがって、

$\lim_{x \to 0} (\sqrt{x+4}+2) = 4$

3. 最終的な答え

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