与えられた関数を積分します。 (1) $(x-3)(2x-1)$ (2) $(x + \frac{1}{x})^2$

はい、承知いたしました。問題文にある関数の積分を求めます。今回は、(1)と(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を積分します。

(1) $(x-3)(2x-1)$

(2) $(x + \frac{1}{x})^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x-3)(2x-1)$ を展開します。

$(x-3)(2x-1) = 2x^2 - x - 6x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$

次に、積分します。

$\int (2x^2 - 7x + 3) dx = 2 \int x^2 dx - 7 \int x dx + 3 \int dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 7 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C$

(2)

まず、$(x + \frac{1}{x})^2$ を展開します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

次に、積分します。

$\int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \int x^2 dx + 2 \int dx + \int x^{-2} dx = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (x-3)(2x-1) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x + C$

(2) $\int (x + \frac{1}{x})^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x - \frac{1}{x} + C$