関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用いる。3つの関数 $u(x)$, $v(x)$, $w(x)$ の積の微分は次のようになる。

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)w(x)] = \frac{du}{dx}v(x)w(x) + u(x)\frac{dv}{dx}w(x) + u(x)v(x)\frac{dw}{dx}$

ここで、

$u(x) = x^3 + 2x$

$v(x) = x^2 + x + 2$

$w(x) = 3x + 1$

とすると、それぞれの微分は、

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 2$

$\frac{dv}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dw}{dx} = 3$

よって、$dy/dx$ は、

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2)(x^2 + x + 2)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(2x + 1)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3)$

これを展開して整理する。

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2)(3x^3 + 4x^2 + 7x + 2) + (x^3 + 2x)(6x^2 + 5x + 1) + (x^3 + 2x)(3x^2 + 3x + 6)$

$\frac{dy}{dx} = (9x^5 + 12x^4 + 21x^3 + 6x^2 + 6x^3 + 8x^2 + 14x + 4) + (6x^5 + 5x^4 + x^3 + 12x^3 + 10x^2 + 2x) + (3x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 6x^3 + 6x^2 + 12x)$

$\frac{dy}{dx} = 9x^5 + 12x^4 + 27x^3 + 14x^2 + 14x + 4 + 6x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 10x^2 + 2x + 3x^5 + 3x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x$

$\frac{dy}{dx} = (9 + 6 + 3)x^5 + (12 + 5 + 3)x^4 + (27 + 13 + 12)x^3 + (14 + 10 + 6)x^2 + (14 + 2 + 12)x + 4$

$\frac{dy}{dx} = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$