与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数

$1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$

が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は初項 $a=1$、公比 $r = -\frac{x-1}{3}$ の等比級数である。

無限等比級数が収束するための条件は $|r| < 1$ であるから、

$\left| -\frac{x-1}{3} \right| < 1$

$\left| \frac{x-1}{3} \right| < 1$

$-1 < \frac{x-1}{3} < 1$

$-3 < x-1 < 3$

$-3+1 < x < 3+1$

$-2 < x < 4$

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$