極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x^2 - 1$ は 0 に近づきます。極限値が存在するためには、分子 $\sqrt{x+a} + b$ も $x \to 1$ のとき 0 に近づく必要があります。これは、$\frac{0}{0}$ の不定形になる必要があることを意味します。したがって、

$\sqrt{1+a} + b = 0$

が成り立ちます。これから、$b = -\sqrt{1+a}$ となります。

次に、与えられた極限を計算します。$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であり、$\sqrt{x+a}+b = \sqrt{x+a} - \sqrt{1+a}$ を用いると、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a}}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{8}$

となります。分子を有理化するために、$\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a}$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a})(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+a) - (1+a)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}$

$x \to 1$ のとき、この極限は

$\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{2(2\sqrt{1+a})} = \frac{1}{4\sqrt{1+a}}$

となります。これが $\frac{1}{8}$ に等しいので、

$\frac{1}{4\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}$

$4\sqrt{1+a} = 8$

$\sqrt{1+a} = 2$

$1+a = 4$

$a = 3$

そして、$b = -\sqrt{1+a} = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = -2$