実数 $x$ に対して、無限級数 $$ x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots $$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots$$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数である。

等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことである。つまり、

$$\left| \frac{1}{1+x-x^2} \right| < 1$$

この不等式は、

$$|1+x-x^2| > 1$$

と同値である。

場合分けして考える。

(1) $1+x-x^2 > 1$ のとき、

$x-x^2 > 0$

$x(1-x) > 0$

$x(x-1) < 0$

よって、$0 < x < 1$

(2) $1+x-x^2 < -1$ のとき、

$x-x^2 < -2$

$x^2-x-2 > 0$

$(x-2)(x+1) > 0$

よって、$x < -1$ または $x > 2$

したがって、収束条件を満たす $x$ の範囲は、 $x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ である。

等比級数が収束するとき、その和は

$$\frac{x}{1-\frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$$

$x=0$のとき、与えられた級数はすべて0となるので、収束し、和は0である。

$x \neq 0$ の場合、和は$\frac{1+x-x^2}{1-x}$である。

3. 最終的な答え

無限級数が収束するような $x$ の範囲は、$x < -1$ または $0 \le x < 1$ または $x > 2$。

このときの無限級数の和は、

$x=0$ のとき $0$。

$x \neq 0$ のとき $\frac{1+x-x^2}{1-x}$。

$x=0$の場合も$\frac{1+x-x^2}{1-x}$に当てはめると$1$になるため，別で表記する必要がある。

よって、$0 < x < 1$の場合の無限級数の和は$\frac{1+x-x^2}{1-x}$。

$x < -1$ または $x > 2$の場合の無限級数の和は$\frac{1+x-x^2}{1-x}$。

$x = 0$ の場合の無限級数の和は$0$。