次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

2. 解き方の手順

まず、$x = 4$ を代入すると、分子は $4-4=0$ 、分母は $\sqrt{4-3}-1 = \sqrt{1}-1 = 1-1 = 0$ となり、$0/0$ の不定形となるため、分母を有理化して式を整理します。

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{x-3}+1$ を掛けます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}$

分母を展開すると、$(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1) = (\sqrt{x-3})^2 - 1^2 = (x-3) - 1 = x-4$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4}$

$x \to 4$ のとき、$x \ne 4$ なので、$x-4$ で約分できます。

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1)$

$x = 4$ を代入すると、

$\sqrt{4-3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$

3. 最終的な答え

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