極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to -1$ のとき、分母 $x+1 \to 0$ である。極限値が存在するためには、分子 $ax^2 + bx + 2$ も $x=-1$ で $0$ になる必要がある。したがって、

$$a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0$$

$$a - b + 2 = 0$$

$$b = a + 2$$

これを元の式に代入すると、

$$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + (a+2)x + 2}{x + 1} = 1$$

分子を因数分解する。$ax^2 + (a+2)x + 2 = (x+1)(ax+2)$ である。

$$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(ax + 2)}{x + 1} = 1$$

$x \neq -1$ のとき、$\frac{x+1}{x+1} = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to -1} (ax + 2) = 1$$

$$a(-1) + 2 = 1$$

$$-a = -1$$

$$a = 1$$

したがって、$b = a + 2 = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 3$