次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$

2. 解き方の手順

この極限は、$x=2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるため、分母を有理化して計算します。

$\sqrt{x+7}+3$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3)}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3) = (x+7) - 9 = x - 2$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

$x \neq 2$ であるから、$x-2$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7} + 3}$

ここで、$x=2$ を代入します。

$\frac{1}{\sqrt{2+7} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$