実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数と見なすことができる。

等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が 1 より小さいことである。

したがって、

$\left| \frac{1}{1+x-x^2} \right| < 1$

でなければならない。

これは、

$|1+x-x^2| > 1$

と同値である。

絶対値記号を外すと、

$1+x-x^2 > 1$ または $1+x-x^2 < -1$

となる。

まず、$1+x-x^2 > 1$ の場合を考える。

$1+x-x^2 > 1$

$x-x^2 > 0$

$x(1-x) > 0$

$x(x-1) < 0$

したがって、$0 < x < 1$ である。

次に、$1+x-x^2 < -1$ の場合を考える。

$1+x-x^2 < -1$

$x-x^2+2 < 0$

$x^2 - x - 2 > 0$

$(x-2)(x+1) > 0$

したがって、$x < -1$ または $x > 2$ である。

したがって、収束するための $x$ の範囲は、$x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ である。

このとき、等比級数の和は

$\frac{x}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$

となる。

3. 最終的な答え

無限級数が収束する $x$ の範囲は、$x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ である。

そのときの無限級数の和は、$\frac{1+x-x^2}{1-x}$ である。