$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$ を求めよ。

解析学極限関数の極限分数関数
2025/7/26

1. 問題の内容

limx4x2x+1x2+2\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} を求めよ。

2. 解き方の手順

xx \to \infty の極限を求めるために、分子と分母を x2x^2 で割ります。
limx4x2x+1x2+2=limx4x2x2xx2+1x2x2x2+2x2\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}
=limx41x+1x21+2x2= \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}
xx \to \infty のとき、1x0\frac{1}{x} \to 0 および 1x20\frac{1}{x^2} \to 0 なので、
limx41x+1x21+2x2=40+01+0=41=4\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4

3. 最終的な答え

4

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