与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた無限等比級数の公比 $r$ を求めます。

$r = \frac{-\frac{x-1}{3}}{1} = -\frac{x-1}{3}$

無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が1より小さいことです。つまり、$|r| < 1$。

$|-\frac{x-1}{3}| < 1$

$\frac{|x-1|}{3} < 1$

$|x-1| < 3$

この不等式を解きます。

$-3 < x-1 < 3$

各辺に1を足すと、

$-3+1 < x-1+1 < 3+1$

$-2 < x < 4$

したがって、無限等比級数が収束する $x$ の範囲は $-2 < x < 4$ です。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$