$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$ が与えられているとき、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ を求める。 (2) $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$ が与えられているとき、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ を求める。

(2) $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分する。積分の微分に関する基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

一方、右辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx} (7x^2 - 4x - 3) = 14x - 4$

したがって、$f(x)$ は次のように求められる。

$f(x) = 14x - 4$

(2) 与えられた積分方程式に $x = a$ を代入する。すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 7a^2 - 4a - 3$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ であるから、

$7a^2 - 4a - 3 = 0$

この二次方程式を解く。因数分解すると、

$(7a + 3)(a - 1) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = -\frac{3}{7}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 14x - 4$

(2) $a = 1$ または $a = -\frac{3}{7}$