定積分 $\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx$ を計算します。

承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

$\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{4}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx$

次に、不定積分 $\int x^{\frac{1}{2}} dx$ を計算します。

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{4}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{4}^{1} = \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}})$

$1^{\frac{3}{2}} = 1$ であり、$4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$ であるため、

$\frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(1) - \frac{2}{3}(8) = \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{14}{3}$