3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の $x$ 座標が $t$ である点における接線を求める問題です。さらに、接線が点 A(2, 0) を通るときの $t$ の値を求め、その接線と $y = f(x)$ のグラフの接点Pを求めます。その後、2次関数 $g(x)$ で、$y = g(x)$ のグラフが3点 O, A, P を通るものを求め、直線 $l$ と $y = g(x)$ のグラフで囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の $x$ 座標が $t$ である点における接線を求める問題です。さらに、接線が点 A(2, 0) を通るときの $t$ の値を求め、その接線と $y = f(x)$ のグラフの接点Pを求めます。その後、2次関数 $g(x)$ で、$y = g(x)$ のグラフが3点 O, A, P を通るものを求め、直線 $l$ と $y = g(x)$ のグラフで囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ を微分して、$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ を求めます。

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y = (3t^2 - 6t + 2)(x - t) + t^3 - 3t^2 + 2t$

$y = (3t^2 - 6t + 2)x - 3t^3 + 6t^2 - 2t + t^3 - 3t^2 + 2t$

$y = (3t^2 - 6t + 2)x - 2t^3 + 3t^2$

これが点 A(2, 0) を通るので、

$0 = (3t^2 - 6t + 2)(2) - 2t^3 + 3t^2$

$0 = 6t^2 - 12t + 4 - 2t^3 + 3t^2$

$2t^3 - 9t^2 + 12t - 4 = 0$

$(t - 2)(2t^2 - 5t + 2) = 0$

$(t - 2)(2t - 1)(t - 2) = 0$

$(t - 2)^2(2t - 1) = 0$

よって、$t = 2, \frac{1}{2}$。

$t = 2$ の場合、これは点 A(2,0)なので、$t = \frac{1}{2}$ の場合を考えます。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{4}) - 6(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} - 3 + 2 = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4}$

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1 - 6 + 8}{8} = \frac{3}{8}$

接点 P の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{3}{8})$

接線の方程式は $y - \frac{3}{8} = -\frac{1}{4}(x - \frac{1}{2})$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = -\frac{1}{4}x + \frac{4}{8}$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

したがって、直線 $l$ を表す方程式は $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

2次関数 $g(x)$ は、点 O(0, 0), A(2, 0), P($\frac{1}{2}, \frac{3}{8}$) を通るので、

$g(x) = ax^2 + bx$ (原点を通るので定数項は0)

$g(2) = 4a + 2b = 0$

$g(\frac{1}{2}) = a(\frac{1}{4}) + b(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$

$4a + 2b = 0$ より $b = -2a$

$\frac{a}{4} - a = \frac{3}{8}$

$\frac{-3a}{4} = \frac{3}{8}$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = -2(-\frac{1}{2}) = 1$

よって、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x$

直線 $l: y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x$ で囲まれる部分の面積 S を求める。

$-\frac{1}{2}x^2 + x = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

$-2x^2 + 4x = -x + 2$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x - 1)(x - 2) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 2$

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} (-\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}x^2 + x)) dx = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{1}{2}) dx$

$= [\frac{1}{6}x^3 - \frac{5}{8}x^2 + \frac{1}{2}x]_{\frac{1}{2}}^{2} = (\frac{8}{6} - \frac{20}{8} + 1) - (\frac{1}{48} - \frac{5}{32} + \frac{1}{4}) = (\frac{4}{3} - \frac{5}{2} + 1) - (\frac{2 - 15 + 24}{96}) = (\frac{8 - 15 + 6}{6}) - (\frac{11}{96}) = -\frac{1}{6} - \frac{11}{96} = \frac{-16 - 11}{96} = -\frac{27}{96} = -\frac{9}{32}$

面積なので絶対値をとり、$\frac{9}{32}$

3. 最終的な答え

ア: 3, イ: 6, ウ: 2, エ: 2, オ: 3, カ: 2, キ: 1, ク: 2, ケ: 3, コ: 8, サシ: -1, ス: 4, セ: 1, ソ: 2, タチ: -1, ツ: 2, テ: (0), トナ: 9, ニヌ: 32