与えられた積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を因数分解します。

$6x^2 - x - 1 = (2x - 1)(3x + 1)$

したがって、

$\frac{x-3}{6x^2 - x - 1} = \frac{x-3}{(2x - 1)(3x + 1)}$

この分数式を部分分数分解します。

$\frac{x-3}{(2x - 1)(3x + 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{3x + 1}$

両辺に $(2x - 1)(3x + 1)$ を掛けると、

$x - 3 = A(3x + 1) + B(2x - 1)$

$x - 3 = 3Ax + A + 2Bx - B$

$x - 3 = (3A + 2B)x + (A - B)$

係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$3A + 2B = 1$

$A - B = -3$

2番目の式から $A = B - 3$ を得て、これを1番目の式に代入すると、

$3(B - 3) + 2B = 1$

$3B - 9 + 2B = 1$

$5B = 10$

$B = 2$

したがって、$A = B - 3 = 2 - 3 = -1$

よって、

$\frac{x-3}{(2x - 1)(3x + 1)} = \frac{-1}{2x - 1} + \frac{2}{3x + 1}$

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx = \int \left( \frac{-1}{2x - 1} + \frac{2}{3x + 1} \right) dx$

$= -\int \frac{1}{2x - 1} dx + 2\int \frac{1}{3x + 1} dx$

$u = 2x - 1$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$

$\int \frac{1}{2x - 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du = \frac{1}{2} \ln |u| = \frac{1}{2} \ln |2x - 1|$

$v = 3x + 1$ とすると、$dv = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}dv$

$\int \frac{1}{3x + 1} dx = \int \frac{1}{v} \cdot \frac{1}{3}dv = \frac{1}{3} \int \frac{1}{v}dv = \frac{1}{3} \ln |v| = \frac{1}{3} \ln |3x + 1|$

したがって、

$\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx = -\frac{1}{2} \ln |2x - 1| + 2 \cdot \frac{1}{3} \ln |3x + 1| + C$

$= -\frac{1}{2} \ln |2x - 1| + \frac{2}{3} \ln |3x + 1| + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \ln |2x - 1| + \frac{2}{3} \ln |3x + 1| + C$