$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} \right)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} \right)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+x)}{x^2} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x}{x^2}$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開（テイラー展開）を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

この展開を代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) - x}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots}{x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{4} + \dots \right)$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x}{3}, \frac{x^2}{4}, \dots$ はすべて0に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{4} + \dots \right) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$