関数 $\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を用いて、関数 $\frac{x+2}{x+3}$ のマクローリン展開を求め、空欄を埋める問題です。

## 問題４ (1)

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を用いて、関数 $\frac{x+2}{x+3}$ のマクローリン展開を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $\frac{x+2}{x+3}$ を部分分数分解します。

$\frac{x+2}{x+3} = \frac{(x+3)-1}{x+3} = 1 - \frac{1}{x+3}$

次に、$\frac{1}{x+3}$ を $\frac{1}{3(1+\frac{x}{3})} = \frac{1}{3(1-(-\frac{x}{3}))}$ と変形します。

関数 $\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ であり、これを用いると

$\frac{1}{3(1-(-\frac{x}{3}))} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{3})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$

したがって、

$\frac{x+2}{x+3} = 1 - \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{3})^n = 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} x^n$

$= 1 - (\frac{1}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x^2}{27} - \dots)$

$= \frac{2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-(-1)^n}{3^{n+1}} x^n = \frac{2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n+1}} x^n$

3. 最終的な答え

テ: 2

ト: 3

ナニ: $(-1)^{n+1}$

ヌ: $3^{n+1}$

## 問題4 (2)

1. 問題の内容

関数 $e^{x^2}$ のマクローリン展開を用いて、$e^{x^2 - 4x + 5}$ の $x=2$ を中心とするテイラー級数展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$e^{x^2 - 4x + 5}$ を $e^{(x-2)^2 + 1} = e e^{(x-2)^2}$ と変形します。

関数 $e^{x^2}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$ です。

したがって、

$e e^{(x-2)^2} = e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((x-2)^2)^n}{n!} = e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{2n}}{n!}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!} (x-2)^{2n}$

3. 最終的な答え

ネ: e

ノ: 2

ハ: 2n

## 問題5 (1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ なので、不定積分は $\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$ となります。

定積分を計算すると、

$\int_{0}^{8} x^{\frac{2}{3}} dx = \left[ \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} \right]_0^8 = \frac{3}{5} (8^{\frac{5}{3}} - 0^{\frac{5}{3}}) = \frac{3}{5} (2^5) = \frac{3}{5} \times 32 = \frac{96}{5}$

3. 最終的な答え

ヒフ: 96/5

## 問題5 (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = x, dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ とすると、$du = dx, v = \tan x$ です。

よって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = [x \tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 0 - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\log |\cos x| + C$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = [-\log |\cos x|]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\log (\cos \frac{\pi}{4}) + \log (\cos 0) = -\log \frac{\sqrt{2}}{2} + \log 1 = -\log \frac{\sqrt{2}}{2} = - \log 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log 2$

したがって、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

ヘ: π/4

ホ: 4

マ: 2

ミ: 2

## 問題5 (3)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\log 3}^{\log 8} \sqrt{e^x + 1} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = e^x + 1$ と置換すると、$du = e^x dx = (u-1) dx$ より $dx = \frac{du}{u-1}$。積分範囲は $x = \log 3$ のとき $u = 3+1 = 4$, $x = \log 8$ のとき $u = 8+1 = 9$ となる。

$\int_{\log 3}^{\log 8} \sqrt{e^x + 1} dx = \int_{4}^{9} \frac{\sqrt{u}}{u-1} du$

ここで $v = \sqrt{u}$ と置換すると、$u = v^2$, $du = 2v dv$。積分範囲は $u = 4$ のとき $v = 2$, $u = 9$ のとき $v = 3$ となる。

$\int_{4}^{9} \frac{\sqrt{u}}{u-1} du = \int_{2}^{3} \frac{v}{v^2-1} 2v dv = 2 \int_{2}^{3} \frac{v^2}{v^2-1} dv = 2 \int_{2}^{3} \frac{v^2-1+1}{v^2-1} dv = 2 \int_{2}^{3} (1 + \frac{1}{v^2-1}) dv$

$= 2 \int_{2}^{3} (1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{v-1} - \frac{1}{v+1})) dv = 2 \left[ v + \frac{1}{2} \log |\frac{v-1}{v+1}| \right]_2^3 = 2 \left[ (3 - 2) + \frac{1}{2} (\log \frac{2}{4} - \log \frac{1}{3}) \right] = 2 + \log \frac{1}{2} - \log \frac{1}{3} = 2 + \log \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

ム: 2

メ: 3

モ: 2

## 問題5 (4)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} x \arctan x dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = \arctan x, dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = \frac{1}{2}x^2$ です。

よって、$\int_{0}^{\sqrt{3}} x \arctan x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \arctan x \right]_0^{\sqrt{3}} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{2} \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} (\sqrt{3})^2 \arctan \sqrt{3} - 0 - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{3}{2} \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} [x - \arctan x]_0^{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} [(\sqrt{3} - \arctan \sqrt{3}) - (0 - \arctan 0)] = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} (\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

ヤユ: 2π/3

ヨ: 3

ラ: √3

リ: 2

## 問題5 (5)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{5x}{(x^2+4)(x^2+9)} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{5x}{(x^2+4)(x^2+9)} = \frac{A x}{x^2+4} + \frac{B x}{x^2+9}$ と部分分数分解します。

$5x = A x (x^2+9) + B x (x^2+4) = x(A(x^2+9) + B(x^2+4)) = x((A+B)x^2 + (9A+4B))$

$A+B = 0, 9A+4B = 5$ より $B = -A$ なので $9A - 4A = 5$ より $5A = 5$ となり $A = 1, B = -1$ です。

$\int_{0}^{1} \frac{5x}{(x^2+4)(x^2+9)} dx = \int_{0}^{1} (\frac{x}{x^2+4} - \frac{x}{x^2+9}) dx = \left[ \frac{1}{2} \log (x^2+4) - \frac{1}{2} \log (x^2+9) \right]_0^1 = \frac{1}{2} [\log (x^2+4) - \log (x^2+9)]_0^1$

$= \frac{1}{2} [ \log \frac{x^2+4}{x^2+9} ]_0^1 = \frac{1}{2} ( \log \frac{5}{10} - \log \frac{4}{9} ) = \frac{1}{2} \log (\frac{5}{10} \cdot \frac{9}{4}) = \frac{1}{2} \log \frac{9}{8} = \log \sqrt{\frac{9}{8}} = \log \frac{3}{2\sqrt{2}} = \log \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$= \log 3\sqrt{2} - \log 4 = \frac{1}{2} \log \frac{9}{8} = \frac{1}{2} (\log 9 - \log 8) = \frac{1}{2} (2 \log 3 - 3 \log 2)$

$= \frac{1}{2} (\log (1^2+4) - \log (1^2+9) - \log 4 + \log 9 ) = \frac{1}{2} (\log 5 - \log 10 - \log 4 + \log 9)$

$= \frac{1}{2} \log \frac{45}{40} = \frac{1}{2} \log \frac{9}{8}$

あるいは

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+4} dx = \frac{1}{2} \log(x^2+4)|_0^1 = \frac{1}{2} (\log 5 - \log 4)$

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+9} dx = \frac{1}{2} \log(x^2+9)|_0^1 = \frac{1}{2} (\log 10 - \log 9)$

$\frac{1}{2} (\log 5 - \log 4 - (\log 10 - \log 9)) = \frac{1}{2} (\log 5 - \log 4 - \log 10 + \log 9) = \frac{1}{2} \log \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 10} = \frac{1}{2} \log \frac{9}{8}$

$\log \sqrt{\frac{9}{8}} = \log \frac{3}{2\sqrt{2}}$

$\log 3 - \frac{1}{2} \log 8 = \log 3 - \frac{3}{2} \log 2$

$\log \frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

ル: 3√2/4

レ: 3

ロ: 2

ワ: 2

## 問題5 (6)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\log \sqrt{3}} \frac{e^{4x} + e^{x}}{e^{2x} + 1} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = e^{x}$ と置換すると、$du = e^{x} dx$ より $dx = \frac{du}{u}$。積分範囲は $x = 0$ のとき $u = 1$, $x = \log \sqrt{3}$ のとき $u = \sqrt{3}$ となる。

$\int_{0}^{\log \sqrt{3}} \frac{e^{4x} + e^{x}}{e^{2x} + 1} dx = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{u^4 + u}{u^2 + 1} \frac{du}{u} = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{u^3 + 1}{u^2 + 1} du = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{(u+1)(u^2 - u + 1)}{u^2 + 1} du$

$= \int_{1}^{\sqrt{3}} (u - 1 + \frac{2}{u^2 + 1}) du = \left[ \frac{1}{2} u^2 - u + 2 \arctan u \right]_1^{\sqrt{3}} = (\frac{3}{2} - \sqrt{3} + 2 \frac{\pi}{3}) - (\frac{1}{2} - 1 + 2 \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2} - \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} + 1 - \frac{\pi}{2} = 1 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

ヲ: 1

ン: √3

あ: 1

い: π

うえ: 6