$a > 0$とするとき、サイクロイド$x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$の全長（$0 \le t \le 2\pi$）を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$とするとき、サイクロイド$x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$の全長（$0 \le t \le 2\pi$）を求めよ。

2. 解き方の手順

サイクロイドの全長$L$は、

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

で計算できる。

まず、$\frac{dx}{dt}$と$\frac{dy}{dt}$を計算する。

$$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$$

$$\frac{dy}{dt} = a \sin t$$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$を計算する。

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1 - \cos t)$$

半角の公式$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$を用いると、

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 4a^2 \sin^2 \frac{t}{2}$$

したがって、

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{4a^2 \sin^2 \frac{t}{2}} = 2a \left| \sin \frac{t}{2} \right|$$

$0 \le t \le 2\pi$のとき、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$なので、$\sin \frac{t}{2} \ge 0$である。よって、$\left| \sin \frac{t}{2} \right| = \sin \frac{t}{2}$。

したがって、求める全長は

$$L = \int_0^{2\pi} 2a \sin \frac{t}{2} dt = 2a \left[ -2 \cos \frac{t}{2} \right]_0^{2\pi} = 2a (-2\cos \pi - (-2\cos 0)) = 2a(2 + 2) = 8a$$

3. 最終的な答え

$8a$