定積分 $\int_1^e (x+1) \log_e x \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e (x+1) \log_e x \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。まず、$\log_e x$ を $u$、$x+1$ を $v'$ とおきます。

$u = \log_e x$ より $u' = \frac{1}{x}$

$v' = x+1$ より $v = \int (x+1) \, dx = \frac{x^2}{2} + x$

部分積分の公式 $\int u v' dx = u v - \int u' v dx$ を用いると

$\int_1^e (x+1) \log_e x \, dx = \left[ \left(\frac{x^2}{2} + x \right) \log_e x \right]_1^e - \int_1^e \left( \frac{1}{x} \right) \left( \frac{x^2}{2} + x \right) dx$

$= \left[ \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \log_e x \right]_1^e - \int_1^e \left( \frac{x}{2} + 1 \right) dx$

$= \left[ \left(\frac{e^2}{2} + e \right) \log_e e - \left( \frac{1^2}{2} + 1 \right) \log_e 1 \right] - \left[ \frac{x^2}{4} + x \right]_1^e$

$= \left( \frac{e^2}{2} + e \right) - 0 - \left[ \frac{e^2}{4} + e - \left( \frac{1}{4} + 1 \right) \right]$

$= \frac{e^2}{2} + e - \frac{e^2}{4} - e + \frac{1}{4} + 1$

$= \frac{e^2}{4} + \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2}{4} + \frac{5}{4}$