定積分 $\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x^5} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x^5} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{x^5}$ を $x$ の指数で表します。

$\sqrt[3]{x^5} = x^{\frac{5}{3}}$

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{\frac{5}{3}} dx = \frac{x^{\frac{5}{3}+1}}{\frac{5}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} + C = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

ここで、定積分を計算します。

$\int_{0}^{8} x^{\frac{5}{3}} dx = \left[ \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} \right]_{0}^{8} = \frac{3}{8} (8^{\frac{8}{3}} - 0^{\frac{8}{3}})$

$8^{\frac{8}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^8 = 2^8 = 256$

したがって、

$\int_{0}^{8} x^{\frac{5}{3}} dx = \frac{3}{8} \cdot 256 = 3 \cdot 32 = 96$

3. 最終的な答え

96