与えられた積分の問題を解きます。問題は、$\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は、$\int \frac{1}{1+\cos x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を用いて $\cos x$ を書き換えます。$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ であるから、

$1 + \cos x = 1 + (2\cos^2 \frac{x}{2} - 1) = 2\cos^2 \frac{x}{2}$

となります。

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{1+\cos x} dx = \int \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

$\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \sec^2 \frac{x}{2}$ であるから、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx$

ここで、置換積分を行います。$u = \frac{x}{2}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$ より $dx = 2du$ となります。

したがって、

$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 u (2du) = \int \sec^2 u du$

$\int \sec^2 u du = \tan u + C$ です。ここで $u = \frac{x}{2}$ を代入すると、

$\tan u + C = \tan \frac{x}{2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} + C$