与えられた積分を計算します。積分は次のとおりです。 $\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6\sin x} dx$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次のとおりです。

$\int \frac{\cos x}{5 - \cos 2x - 6\sin x} dx$

2. 解き方の手順

積分を計算するために、まず分母の$\cos 2x$を$\sin x$で表します。三角関数の倍角の公式$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を使用します。すると、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos x}{5 - (1 - 2\sin^2 x) - 6\sin x} dx = \int \frac{\cos x}{4 + 2\sin^2 x - 6\sin x} dx$

次に、$u = \sin x$と置換します。すると、$du = \cos x dx$ となり、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{4 + 2u^2 - 6u} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 - 3u + 2} du$

分母を因数分解すると、次のようになります。

$u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2)$

部分分数分解を行うと、次のようになります。

$\frac{1}{(u - 1)(u - 2)} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u - 2}$

両辺に$(u - 1)(u - 2)$をかけると、次のようになります。

$1 = A(u - 2) + B(u - 1)$

$u = 1$のとき、$1 = A(1 - 2) + B(1 - 1) \implies A = -1$

$u = 2$のとき、$1 = A(2 - 2) + B(2 - 1) \implies B = 1$

したがって、

$\frac{1}{(u - 1)(u - 2)} = \frac{-1}{u - 1} + \frac{1}{u - 2}$

積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u - 1}\right) du = \frac{1}{2} (\ln |u - 2| - \ln |u - 1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{u - 2}{u - 1}\right| + C$

$u = \sin x$を代入すると、最終的な答えは次のようになります。

$\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sin x - 2}{\sin x - 1}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sin x - 2}{\sin x - 1}\right| + C$