与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 x$ を $\cos x$ を使って書き換えます。$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2(1 - \cos^2 x)} dx = \int \frac{\sin x}{3 - 3\cos x - 2 + 2\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1 - 3\cos x + 2\cos^2 x} dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、$\sin x dx = -du$ となり、積分は次のようになります。

$\int \frac{-du}{1 - 3u + 2u^2} = -\int \frac{du}{2u^2 - 3u + 1}$

分母を因数分解します。

$2u^2 - 3u + 1 = (2u - 1)(u - 1)$

したがって、積分は次のようになります。

$-\int \frac{du}{(2u - 1)(u - 1)}$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} = \frac{A}{2u - 1} + \frac{B}{u - 1}$ となる $A$ と $B$ を求めます。

$1 = A(u - 1) + B(2u - 1)$

$u = 1$ のとき、$1 = A(0) + B(2(1) - 1) = B$, よって、$B = 1$。

$u = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(\frac{1}{2} - 1) + B(0) = -\frac{1}{2}A$, よって、$A = -2$。

したがって、$\frac{1}{(2u - 1)(u - 1)} = \frac{-2}{2u - 1} + \frac{1}{u - 1}$ となり、積分は次のようになります。

$-\int \left( \frac{-2}{2u - 1} + \frac{1}{u - 1} \right) du = \int \frac{2}{2u - 1} du - \int \frac{1}{u - 1} du$

それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{2}{2u - 1} du = \ln|2u - 1| + C_1$

$\int \frac{1}{u - 1} du = \ln|u - 1| + C_2$

したがって、積分は次のようになります。

$\ln|2u - 1| - \ln|u - 1| + C = \ln\left|\frac{2u - 1}{u - 1}\right| + C$

$u = \cos x$ を代入すると、

$\ln\left|\frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\ln\left|\frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1}\right| + C$