次の不定積分を求めます： $\int \frac{-x}{2x^2+7x+6} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます：

$\int \frac{-x}{2x^2+7x+6} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の分母を因数分解します。

$2x^2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2)$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{-x}{(2x+3)(x+2)} dx$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{-x}{(2x+3)(x+2)} = \frac{A}{2x+3} + \frac{B}{x+2}$

両辺に $(2x+3)(x+2)$ を掛けると、

$-x = A(x+2) + B(2x+3)$

$x=-2$ のとき、

$-(-2) = A(-2+2) + B(2(-2)+3)$

$2 = 0 + B(-4+3)$

$2 = -B$

$B = -2$

$x=-\frac{3}{2}$ のとき、

$-(-\frac{3}{2}) = A(-\frac{3}{2}+2) + B(2(-\frac{3}{2})+3)$

$\frac{3}{2} = A(\frac{1}{2}) + B(-3+3)$

$\frac{3}{2} = \frac{1}{2}A$

$A = 3$

したがって、

$\frac{-x}{(2x+3)(x+2)} = \frac{3}{2x+3} + \frac{-2}{x+2}$

$\int \frac{-x}{2x^2+7x+6} dx = \int (\frac{3}{2x+3} - \frac{2}{x+2}) dx$

$= 3 \int \frac{1}{2x+3} dx - 2 \int \frac{1}{x+2} dx$

$= 3 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+3| - 2 \ln|x+2| + C$

$= \frac{3}{2} \ln|2x+3| - 2 \ln|x+2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \ln|2x+3| - 2 \ln|x+2| + C$