不定積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を計算し、指定された形式 $\frac{2}{3} \log|Ax + B| - \frac{1}{2} \log|Cx - D| + C$ で答えを埋める問題です。ここで、$A, B, C, D$ は整数です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx$ を計算し、指定された形式 $\frac{2}{3} \log|Ax + B| - \frac{1}{2} \log|Cx - D| + C$ で答えを埋める問題です。ここで、$A, B, C, D$ は整数です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。分母を因数分解すると、$6x^2 - x - 1 = (2x - 1)(3x + 1)$ となります。

したがって、

$$$$

\frac{x-3}{6x^2 - x - 1} = \frac{x-3}{(2x-1)(3x+1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{3x+1}

$$$$

両辺に $(2x-1)(3x+1)$ をかけると、

$$$$

x - 3 = A(3x+1) + B(2x-1)

$$$$

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$$$$

\frac{1}{2} - 3 = A(\frac{3}{2} + 1) + B(0)

$$$$

$$$$

-\frac{5}{2} = \frac{5}{2}A

$$$$

$$$$

A = -1

$$$$

$x = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$$$$

-\frac{1}{3} - 3 = A(0) + B(-\frac{2}{3} - 1)

$$$$

$$$$

-\frac{10}{3} = -\frac{5}{3}B

$$$$

$$$$

B = 2

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{x-3}{6x^2 - x - 1} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{3x+1}

$$$$

積分すると、

$$$$

\int \frac{x-3}{6x^2 - x - 1} dx = \int \left( \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{3x+1} \right) dx

$$$$

$$$$

= -\frac{1}{2} \log|2x-1| + \frac{2}{3} \log|3x+1| + C

$$$$

$$$$

= \frac{2}{3} \log|3x+1| - \frac{1}{2} \log|2x-1| + C

$$$$

したがって、$A = 3$, $B = 1$, $C = 2$, $D = 1$ です。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 1

ウ: 2

エ: 1