問3: (1) 半径 $r$ の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 (2) 第1象限内の定点 $A(a, b)$ を通る直線を考える。この直線の第1象限にある部分の長さの最小値を求めよ。 問4: $x > 0$ のとき、$1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ を示せ。

1. 問題の内容

問3:

(1) 半径 $r$ の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。

(2) 第1象限内の定点 $A(a, b)$ を通る直線を考える。この直線の第1象限にある部分の長さの最小値を求めよ。

問4:

$x > 0$ のとき、$1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ を示せ。

2. 解き方の手順

問3 (1)

直円柱の半径を $s$, 高さを $2h$ とする。

球に内接するので、$s^2 + h^2 = r^2$ が成り立つ。

直円柱の体積 $V$ は $V = \pi s^2 (2h) = 2\pi (r^2 - h^2)h = 2\pi (r^2 h - h^3)$。

$V$ を $h$ で微分すると、

$\frac{dV}{dh} = 2\pi (r^2 - 3h^2)$。

$\frac{dV}{dh} = 0$ となるのは、$h^2 = \frac{r^2}{3}$, つまり $h = \frac{r}{\sqrt{3}}$ のとき。

このとき、$s^2 = r^2 - \frac{r^2}{3} = \frac{2r^2}{3}$, よって $s = \sqrt{\frac{2}{3}} r$。

$V = 2\pi (\frac{2r^2}{3}) \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}}$。

$h = \frac{r}{\sqrt{3}}$ の前後で $\frac{dV}{dh}$ の符号が正から負に変わるので、$V$ は最大となる。

問3 (2)

第1象限内の定点 $A(a, b)$ を通る直線の方程式を $y - b = m(x - a)$ とする。ただし、$m < 0$。

$x$ 切片は $y = 0$ とおいて $x = a - \frac{b}{m}$。

$y$ 切片は $x = 0$ とおいて $y = b - am$。

直線の第1象限にある部分の長さ $L$ は、

$L = \sqrt{(a - \frac{b}{m})^2 + (b - am)^2} = \sqrt{a^2 - 2\frac{ab}{m} + \frac{b^2}{m^2} + b^2 - 2abm + a^2 m^2}$

$L^2 = a^2 + b^2 + a^2 m^2 + \frac{b^2}{m^2} - 2ab(m + \frac{1}{m})$

$L$ が最小になるのは、$L^2$ が最小になるとき。

$f(m) = a^2 m^2 + \frac{b^2}{m^2} - 2ab(m + \frac{1}{m})$ とおく。

$f'(m) = 2a^2 m - \frac{2b^2}{m^3} - 2ab + \frac{2ab}{m^2}$

$f'(m) = 0$ となるのは、$a^2 m - \frac{b^2}{m^3} - ab + \frac{ab}{m^2} = 0$。

$a^2 m^4 - abm^3 - abm + b^2 = 0$

$(am - b)(am^3 + b) = 0$

$m < 0$ より $am = -b$ つまり $m = - \frac{b^{1/2}}{a^{1/2}}$

$L = (a^{1/2} + b^{1/2})^2$

問4

$f(x) = e^{-x}$ とおく。

$f(0) = 1$

$f'(x) = -e^{-x}$, $f'(0) = -1$

$f''(x) = e^{-x}$, $f''(0) = 1$

テイラー展開より、

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-x} > 1 - x$ は明らか。

$e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ を示す。

$g(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2} - e^{-x}$ とおく。

$g(0) = 0$

$g'(x) = -1 + x + e^{-x}$

$g'(0) = 0$

$g''(x) = 1 - e^{-x} > 0$ for $x > 0$

$g'(x) > 0$ for $x > 0$

$g(x) > 0$ for $x > 0$

よって $1 - x + \frac{x^2}{2} > e^{-x}$

3. 最終的な答え

問3 (1)

直円柱の体積の最大値: $\frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}}$

問3 (2)

直線の第1象限にある部分の長さの最小値: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

問4

$x > 0$ のとき、$1 - x < e^{-x} < 1 - x + \frac{x^2}{2}$ が示された。