3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求め、その接線が点 $A(2, 0)$ を通るときの $t$ の値を求め、その $t$ の値における接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの接点 $P$ を求め、直線 $l$ の方程式を求め、最後に2次関数 $g(x)$ で、$y = g(x)$ のグラフが3点 $O, A, P$ を通るものを求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求め、その接線が点 $A(2, 0)$ を通るときの $t$ の値を求め、その $t$ の値における接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの接点 $P$ を求め、直線 $l$ の方程式を求め、最後に2次関数 $g(x)$ で、$y = g(x)$ のグラフが3点 $O, A, P$ を通るものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求めます。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ より、$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ です。

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y = f'(t)(x - t) + f(t)$

$y = (3t^2 - 6t + 2)(x - t) + (t^3 - 3t^2 + 2t)$

$y = (3t^2 - 6t + 2)x - 3t^3 + 6t^2 - 2t + t^3 - 3t^2 + 2t$

$y = (3t^2 - 6t + 2)x - 2t^3 + 3t^2$

次に、この接線が点 $A(2, 0)$ を通るので、

$0 = (3t^2 - 6t + 2)(2) - 2t^3 + 3t^2$

$0 = 6t^2 - 12t + 4 - 2t^3 + 3t^2$

$2t^3 - 9t^2 + 12t - 4 = 0$

$(t - 2)(2t^2 - 5t + 2) = 0$

$(t - 2)(2t - 1)(t - 2) = 0$

$(t - 2)^2(2t - 1) = 0$

よって、$t = 2, \frac{1}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のときの接線 $l$ を考えます。

$f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{4}) - 6(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} - 3 + 2 = -\frac{1}{4}$

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1 - 6 + 8}{8} = \frac{3}{8}$

$l: y = -\frac{1}{4}(x - \frac{1}{2}) + \frac{3}{8}$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{8} + \frac{3}{8}$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

直線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの接点 $P$ は $(\frac{1}{2}, \frac{3}{8})$ です。

最後に、$y = g(x)$ のグラフが3点 $O(0, 0), A(2, 0), P(\frac{1}{2}, \frac{3}{8})$ を通るので、

$g(x) = ax^2 + bx$ とおきます。

$g(2) = 4a + 2b = 0$ より、$2a + b = 0$

$g(\frac{1}{2}) = a(\frac{1}{4}) + b(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}$

$\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{3}{8}$

$2a + 4b = 3$

$2a + b = 0$ より、$b = -2a$

$2a + 4(-2a) = 3$

$2a - 8a = 3$

$-6a = 3$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = -2a = -2(-\frac{1}{2}) = 1$

よって、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 6

ウ: 2

エ: 2

オ: 3

カ: 2

キ: 1

ク: 2

ケ: 3

コ: 8

サシ: -1

ス: 4

セ: 1

ソ: 2

タチ: -1

ツ: 2