与えられた極限を計算する問題です。問題は、 $\lim_{x \to 0} \log \left(\frac{\log(1+x)}{x}\right)$ を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。問題は、

$\lim_{x \to 0} \log \left(\frac{\log(1+x)}{x}\right)$

を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 0$ のとき、$\log(1+x)$ は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ とテイラー展開できます。したがって、

$\frac{\log(1+x)}{x} = \frac{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots$

となります。

次に、$x \to 0$ のとき、$\log(1-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots)$ は $-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots - \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots\right)^2 + \dots$ とテイラー展開できます。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \log \left(\frac{\log(1+x)}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \log \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots \right)$

$\approx \lim_{x \to 0} \left(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{1}{2} \left(\frac{x^2}{4}\right) + \dots \right) = 0$

となります。

別の方法として、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、$f(x) = \log(1+x)$ とおくと、$f(0) = \log(1) = 0$ となります。

$g(x) = x$ とおくと、$g(0) = 0$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \log \left(\frac{\log(1+x)}{x}\right) = \log \left(\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}\right) = \log(1) = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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