問題1.5[A]の1と2を解きます。 1. 次の関数のグラフの概形を描き、与えられた点での接線の方程式を求める。 (1) $y=2x+1$ (任意の点で) (2) $y=x^2+5x$ ($x=-3$で) (3) $y=x^3-x+1$ ($x=1$で) (4) $y=\frac{2x}{x+1}$ ($x=1$で) (5) $y=\sqrt{x}$ ($x=2$で)

1. 問題の内容

問題1.5[A]の1と2を解きます。

1. 次の関数のグラフの概形を描き、与えられた点での接線の方程式を求める。

(1) $y=2x+1$ (任意の点で)

(2) $y=x^2+5x$ ($x=-3$で)

(3) $y=x^3-x+1$ ($x=1$で)

(4) $y=\frac{2x}{x+1}$ ($x=1$で)

(5) $y=\sqrt{x}$ ($x=2$で)

2. 次の関数の導関数を求める。

(1) $3x+4$

(2) $x^2+5x+7$

(3) $(x^2-x+4)(x^2+x+1)$

(4) $2+x^{-1}+x^{-2}$

(5) $\frac{x-1}{x+1}$

(6) $\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$

(7) $\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$

(8) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$

2. 解き方の手順

1. (1) $y=2x+1$は直線なので、任意の点での接線は元の直線そのものである。

(2) $y=x^2+5x$ の導関数は $y'=2x+5$。$x=-3$のとき、$y' = 2(-3)+5=-1$。また、$x=-3$のとき、$y=(-3)^2+5(-3)=9-15=-6$。よって、接線の方程式は$y-(-6)=-1(x-(-3))$, $y+6=-(x+3)$, $y=-x-9$。

(3) $y=x^3-x+1$ の導関数は $y'=3x^2-1$。$x=1$のとき、$y'=3(1)^2-1=2$。また、$x=1$のとき、$y=(1)^3-1+1=1$。よって、接線の方程式は$y-1=2(x-1)$, $y-1=2x-2$, $y=2x-1$。

(4) $y=\frac{2x}{x+1}$ の導関数は $y' = \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$。$x=1$のとき、$y'=\frac{2}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。また、$x=1$のとき、$y=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$。よって、接線の方程式は$y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, $y-1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

(5) $y=\sqrt{x}$ の導関数は $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。$x=2$のとき、$y'=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。また、$x=2$のとき、$y=\sqrt{2}$。よって、接線の方程式は$y-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(x-2)$, $y-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. (1) $y=3x+4$ の導関数は $y'=3$。

(2) $y=x^2+5x+7$ の導関数は $y'=2x+5$。

(3) $y=(x^2-x+4)(x^2+x+1)$ の導関数は $y'=(2x-1)(x^2+x+1)+(x^2-x+4)(2x+1)=2x^3+2x^2+2x-x^2-x-1+2x^3-2x^2+8x+x^2-x+4=4x^3+8x+3$。

(4) $y=2+x^{-1}+x^{-2}$ の導関数は $y'=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$。

(5) $y=\frac{x-1}{x+1}$ の導関数は $y'=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$。

(6) $y=\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$ の導関数は $y' = \frac{(2x+1)(x^2-x-1) - (x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x^2 - 2x + x^2 - x - 1 - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2-x-1)^2} = \frac{2x^3 - x^2 - 3x - 1 - 2x^3 - x^2 - x + 1}{(x^2-x-1)^2} = \frac{-2x^2 - 4x}{(x^2-x-1)^2} = \frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$。

(7) $y=\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$ の導関数は $y'=\frac{2x(x^3+x^2+3)-(x^2+5)(3x^2+2x)}{(x^3+x^2+3)^2}=\frac{2x^4+2x^3+6x-3x^4-2x^3-15x^2-10x}{(x^3+x^2+3)^2}=\frac{-x^4-15x^2-4x}{(x^3+x^2+3)^2}$。

(8) $y=\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x(x+1)}{x^2+1}$. よって、$y'=\frac{(2x+1)(x^2+1)-x(x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+x^2+2x+1 - 2x^3-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$.

3. 最終的な答え

1. (1) $y=2x+1$

(2) $y=-x-9$

(3) $y=2x-1$

(4) $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

(5) $y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. (1) $y'=3$

(2) $y'=2x+5$

(3) $y'=4x^3+8x+3$

(4) $y'=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

(5) $y'=\frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $y'=\frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$

(7) $y'=\frac{-x^4-15x^2-4x}{(x^3+x^2+3)^2}$

(8) $y'=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$