数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$\{a_n\}$は収束するとわかっています。漸化式 $a_{n+1} = -\frac{3}{4}a_n^2 + \frac{3}{2}a_n$ が与えられているとき、数列$\{a_n\}$の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$\{a_n\}$は収束するとわかっています。漸化式 $a_{n+1} = -\frac{3}{4}a_n^2 + \frac{3}{2}a_n$ が与えられているとき、数列$\{a_n\}$の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. $\lim_{n \to \infty} a_n = \beta$ とおきます。

2. 漸化式 $a_{n+1} = -\frac{3}{4}a_n^2 + \frac{3}{2}a_n$ の両辺の極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{3}{4}a_n^2 + \frac{3}{2}a_n \right)$$

となります。極限をとると、$\beta = -\frac{3}{4}\beta^2 + \frac{3}{2}\beta$ という式が得られます。

3. 上記の式を解きます。

$\beta = -\frac{3}{4}\beta^2 + \frac{3}{2}\beta$

$\frac{3}{4}\beta^2 - \frac{1}{2}\beta = 0$

$\beta\left(\frac{3}{4}\beta - \frac{1}{2}\right) = 0$

$\beta = 0$ または $\frac{3}{4}\beta = \frac{1}{2}$ より $\beta = \frac{2}{3}$

したがって、$\beta = 0, \frac{2}{3}$ となります。

4. 問題文より、数列$\{a_n\}$ は単調増加で $a_n \ge \alpha > 0$ であることから、$\lim_{n \to \infty} a_n \ge \alpha > 0$ が成り立ちます。したがって、$\beta = \frac{2}{3}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$