## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3}$

## 解き方の手順

**

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$**

ロピタルの定理を繰り返し適用します。

* $x \to 0$ のとき、$\tan x - x \to 0$ および $x^3 \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

* ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2}$

* $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^2 x}{3x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^2$

* $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ なので、

$\frac{1}{3} \lim_{x\to 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^2 = \frac{1}{3} (1)^2 = \frac{1}{3}$

したがって、$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$

**

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3}$**

ロピタルの定理を繰り返し適用します。

* $x \to 0$ のとき、$\arctan x - x \to 0$ および $x^3 \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

* ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2}$

* $\frac{1}{1+x^2} - 1 = \frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^2}{1+x^2}$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{-x^2}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)}$

* $\lim_{x\to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = \frac{-1}{3(1+0)} = -\frac{1}{3}$

したがって、$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3} = -\frac{1}{3}$

## 最終的な答え

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3} = -\frac{1}{3}$