1. 次のグラフの概形を描き、与えられた点での接線の方程式を求める問題です。 (1) $y=2x+1$（任意の点） (2) $y=x^2+5x$ ($x=-3$ で) (3) $y=x^3-x+1$ ($x=1$ で) (4) $y=\frac{2x}{x+1}$ ($x=1$ で) (5) $y=\sqrt{x}$ ($x=2$ で)

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1. 次のグラフの概形を描き、与えられた点での接線の方程式を求める問題です。

(1) $y=2x+1$（任意の点）

(2) $y=x^2+5x$ ($x=-3$ で)

(3) $y=x^3-x+1$ ($x=1$ で)

(4) $y=\frac{2x}{x+1}$ ($x=1$ で)

(5) $y=\sqrt{x}$ ($x=2$ で)

2. 次の導関数を求める問題です。

(1) $3x+4$

(2) $x^2+5x+7$

(3) $(x^2-x+4)(x^2+x+1)$

(4) $2+x^{-1}+x^{-2}$

(5) $\frac{x-1}{x+1}$

(6) $\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$

(7) $\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$

(8) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$

2. 解き方の手順

3. 接線の方程式を求める問題

(1) $y=2x+1$（任意の点）

この関数は直線なので、任意の点での接線は元の直線と一致します。

(2) $y=x^2+5x$ ($x=-3$ で)

まず、$x=-3$ のときの $y$ の値を求めます。

$y=(-3)^2+5(-3)=9-15=-6$

したがって、接点は $(-3, -6)$ です。

次に、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx}=2x+5$

$x=-3$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=-3}=2(-3)+5=-6+5=-1$

接線の方程式は、$y-(-6)=-1(x-(-3))$ より、

$y+6=-(x+3)$

$y=-x-9$

(3) $y=x^3-x+1$ ($x=1$ で)

$x=1$ のとき、$y=1^3-1+1=1$

したがって、接点は $(1, 1)$ です。

$\frac{dy}{dx}=3x^2-1$

$x=1$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=1}=3(1)^2-1=3-1=2$

接線の方程式は、$y-1=2(x-1)$ より、

$y-1=2x-2$

$y=2x-1$

(4) $y=\frac{2x}{x+1}$ ($x=1$ で)

$x=1$ のとき、$y=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

したがって、接点は $(1, 1)$ です。

$\frac{dy}{dx}=\frac{(x+1)(2)-2x(1)}{(x+1)^2}=\frac{2x+2-2x}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

$x=1$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=1}=\frac{2}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

接線の方程式は、$y-1=\frac{1}{2}(x-1)$ より、

$y-1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

(5) $y=\sqrt{x}$ ($x=2$ で)

$x=2$ のとき、$y=\sqrt{2}$

したがって、接点は $(2, \sqrt{2})$ です。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$x=2$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

接線の方程式は、$y-\sqrt{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(x-2)$ より、

$y-\sqrt{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. 導関数を求める問題

(1) $3x+4$

$\frac{d}{dx}(3x+4)=3$

(2) $x^2+5x+7$

$\frac{d}{dx}(x^2+5x+7)=2x+5$

(3) $(x^2-x+4)(x^2+x+1)$

積の微分法を用いる。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = x^2 - x + 4, v = x^2 + x + 1$

$u' = 2x - 1, v' = 2x + 1$

$\frac{d}{dx} = (2x-1)(x^2+x+1) + (x^2-x+4)(2x+1)$

$= 2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1 + 2x^3 - 2x^2 + 8x + x^2 - x + 4$

$= 4x^3 + 9x + 3$

(4) $2+x^{-1}+x^{-2}$

$\frac{d}{dx}(2+x^{-1}+x^{-2})=0-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

(5) $\frac{x-1}{x+1}$

商の微分法を用いる。$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$u=x-1, v=x+1$

$u'=1, v'=1$

$\frac{d}{dx}=\frac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}$

商の微分法を用いる。

$u=x^2+x+1, v=x^2-x-1$

$u'=2x+1, v'=2x-1$

$\frac{d}{dx}=\frac{(2x+1)(x^2-x-1)-(x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x-1)^2}$

$=\frac{2x^3-2x^2-2x+x^2-x-1-(2x^3+2x^2+2x-x^2-x-1)}{(x^2-x-1)^2}$

$=\frac{2x^3-x^2-3x-1-2x^3-x^2-x+1}{(x^2-x-1)^2}$

$=\frac{-2x^2-4x}{(x^2-x-1)^2}=\frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$

(7) $\frac{x^2+5}{x^3+x^2+3}$

商の微分法を用いる。

$u=x^2+5, v=x^3+x^2+3$

$u'=2x, v'=3x^2+2x$

$\frac{d}{dx}=\frac{2x(x^3+x^2+3)-(x^2+5)(3x^2+2x)}{(x^3+x^2+3)^2}$

$=\frac{2x^4+2x^3+6x-(3x^4+2x^3+15x^2+10x)}{(x^3+x^2+3)^2}$

$=\frac{-x^4-15x^2-4x}{(x^3+x^2+3)^2}$

$=\frac{-x(x^3+15x+4)}{(x^3+x^2+3)^2}$

(8) $\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{\frac{x+1}{x}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\frac{(x+1)x^2}{x(x^2+1)}=\frac{x(x+1)}{x^2+1}=\frac{x^2+x}{x^2+1}$

商の微分法を用いる。

$u=x^2+x, v=x^2+1$

$u'=2x+1, v'=2x$

$\frac{d}{dx}=\frac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$=\frac{2x^3+2x+x^2+1-(2x^3+2x^2)}{(x^2+1)^2}$

$=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

4. (1) $y=2x+1$

(2) $y=-x-9$

(3) $y=2x-1$

(4) $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

(5) $y=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. (1) $3$

(2) $2x+5$

(3) $4x^3+9x+3$

(4) $-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

(5) $\frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $\frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$

(7) $\frac{-x(x^3+15x+4)}{(x^3+x^2+3)^2}$

(8) $\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$