放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸に囲まれた部分について、以下のものを求める問題です。 (1) 面積 (2) (1)の図形を $x$ 軸を軸として回転させた立体の体積 (3) (1)の図形を $y$ 軸を軸として回転させた立体の体積

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸に囲まれた部分について、以下のものを求める問題です。

(1) 面積

(2) (1)の図形を $x$ 軸を軸として回転させた立体の体積

(3) (1)の図形を $y$ 軸を軸として回転させた立体の体積

2. 解き方の手順

(1) 面積

まず、$y = 4 - x^2$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とすると、

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、$x$ 軸との交点は $(-2, 0)$ と $(2, 0)$ です。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$

$= 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$

(2) 体積（$x$ 軸回転）

$x$ 軸を軸として回転させた立体の体積 $V_x$ は、

$V_x = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2)^2 dx = 2\pi \int_{0}^{2} (4 - x^2)^2 dx$

$= 2\pi \int_{0}^{2} (16 - 8x^2 + x^4) dx = 2\pi \left[ 16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}$

$= 2\pi \left( 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} \right) = 64\pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = 64\pi \left( \frac{15 - 10 + 3}{15} \right) = 64\pi \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{512\pi}{15}$

(3) 体積（$y$ 軸回転）

$y$ 軸を軸として回転させた立体の体積 $V_y$ は、

$y = 4 - x^2$ より、$x^2 = 4 - y$。

$x \ge 0$ の部分で計算し、2倍することを考える。

$V_y = \pi \int_{0}^{4} x^2 dy = \pi \int_{0}^{4} (4 - y) dy$

$= \pi \left[ 4y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi (16 - 8) = 8\pi$

ただし、$x < 0$ の部分も同じ体積なので、

$V_y = 2 \times 8\pi = 16\pi$

3. 最終的な答え

(1) 面積: $\frac{32}{3}$

(2) 体積（$x$ 軸回転）: $\frac{512\pi}{15}$

(3) 体積（$y$ 軸回転）: $16\pi$