関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$f(x)$ が実数全体で連続となるように定数 $a$ の値を求めよ。 $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$f(x)$ が実数全体で連続となるように定数 $a$ の値を求めよ。

$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があります。したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = a$ を満たす $a$ を求めます。

$1 - \cos x$ は $x \to 0$ のとき $0$ に近づき、$x^2$ も同様に $0$ に近づくため、$\frac{1 - \cos x}{x^2}$ は不定形 $\frac{0}{0}$ となります。したがって、ロピタルの定理を用いることができます。

1回ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$

となります。これはまだ $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$

$\cos x$ は $x \to 0$ のとき $1$ に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

連続性より、$a = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$