関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$, ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$ この関数 $f(x)$ の連続性を調べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$, ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$

この関数 $f(x)$ の連続性を調べます。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ の値によって場合分けをします。

- $0 < \tan x < 1$ のとき ($0 < x < \frac{\pi}{4}$): $\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$ なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1+0} = 0$

- $\tan x = 1$ のとき ($x = \frac{\pi}{4}$):

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

- $\tan x > 1$ のとき ($\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$):

分子と分母を $\tan^n x$ で割ると、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$

したがって、$f(x)$ は次のようになります。

$f(x) =

\begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}$

次に、連続性を調べます。

- $0 < x < \frac{\pi}{4}$ では $f(x) = 0$ なので連続です。

- $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $f(x) = \tan x$ なので連続です。

- $x = \frac{\pi}{4}$ での連続性を調べます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}-} f(x) = 0$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}+} f(x) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}-} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4}) \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{4}+} f(x)$

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ および $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$では連続です。