関数 $y = f(x) = \frac{1}{x+3}$ を考える。$f(x)$ の定義域、逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

**問1.5**

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{1}{x+3}$ を考える。$f(x)$ の定義域、逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題。

2. 解き方の手順

* 定義域について: 分母が0にならないように、$x+3 \neq 0$ より、$x \neq -3$。 よって、定義域は $x \neq -3$。

* 逆関数について: $y = \frac{1}{x+3}$ より、$y(x+3) = 1$。

$yx + 3y = 1$

$yx = 1 - 3y$

$x = \frac{1-3y}{y}$

$x = \frac{1}{y} - 3$。

$f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 3$

3. 最終的な答え

* 定義域: $x \neq -3$

* $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 3$。 選択肢の① が正解

**問1.6**

1. 問題の内容

$sin^{-1}x$、$cos^{-1}x$、$tan^{-1}x$ の定義域と値域を答える問題。

2. 解き方の手順

* $sin^{-1}x$ の定義域は $[-1, 1]$。

* $cos^{-1}x$ の値域は $[0, \pi]$。

* $tan^{-1}x$ の値域は実数全体。

3. 最終的な答え

* $sin^{-1}x$の定義域: $[-1, 1]$ 選択肢の①

* $cos^{-1}x$の値域: $[0, \pi]$ 選択肢の③

* $tan^{-1}x$の値域: 実数全体 選択肢の④

**問1.7**

1. 問題の内容

$tan(cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2})$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

* $\theta = cos^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$ とおく。

* $cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

* $0 \leq \theta \leq \pi$ であり、$cos\theta > 0$ なので、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$。

* $sin\theta = \sqrt{1 - cos^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

* $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

* $\frac{1}{\sqrt{3}}$。 選択肢の③

**問1.8**

1. 問題の内容

$tan^{-1}(tan(\frac{3}{4}\pi))$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

* $tan^{-1}$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。

* $tan(\frac{3}{4}\pi) = -1$。

* $tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

* $-\frac{\pi}{4}$。 選択肢の⑤

**問1.9**

1. 問題の内容

$tan(sin^{-1}\frac{1}{4})$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

* $\theta = sin^{-1}\frac{1}{4}$ とおく。すると、$sin\theta = \frac{1}{4}$。

* $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。

* $cos\theta \geq 0$ であるから、$cos\theta = \sqrt{1 - sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$。

* $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

3. 最終的な答え

* $\frac{1}{\sqrt{15}}$。 選択肢の⑤