関数 $y = f(x) = \frac{1}{2^x - 1}$ の定義域と値域を求める問題です。また、関数 $y = -\log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ の逆関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{1}{2^x - 1}$ の定義域と値域を求める問題です。また、関数 $y = -\log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = f(x) = \frac{1}{2^x - 1}$ について考えます。

$2^x = t$ とおくと、$y = \frac{1}{t-1}$ となります。

- $t=1$ のとき、$2^x=1$ となり、$x=0$のとき、$f(x)$ は定義されません。

- したがって、定義域は $x \neq 0$ です。

- $x$が定義域全体を動くとき、$t$は不等式 $t > 0$ かつ $t \neq 1$ を満たすように動きます。

- $t$が0に近づくとき、$y$は負の無限大に近づき、$t$が1に近づくとき、$y$は正または負の無限大に近づきます。

- $t$が無限大に近づくとき、$y$は0に近づきます。

- $t=0$のときは$y=-1$です。

- したがって、$y=f(x)$の値域は、$y < -1, 0 < y$ となります。

次に、関数 $y = -\log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ の逆関数を求めます。

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = -\log_{\frac{1}{3}}(y+2)$

$-x = \log_{\frac{1}{3}}(y+2)$

$(\frac{1}{3})^{-x} = y+2$

$y = (\frac{1}{3})^{-x} - 2$

$y = 3^x - 2$

3. 最終的な答え

問題1.3の解答：

- $t = 1$ のとき

- $x = 0$ のとき

- 定義域は $x \neq 0$

- $y < -1, 0 < y$

問題1.4の解答：

- 関数 $y = -\log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ の逆関数は $3^x - 2$ であり、選択肢の3です。