問題は、関数 $f(x) = 5x$ が与えられたとき、以下の2つの極限値を求めることです。 (1) $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ (2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x) = 5x$ が与えられたとき、以下の2つの極限値を求めることです。

(1) $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ の計算

$f(x) = 5x$ なので、$f(a) = 5a$ です。したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{5x - 5a}{x - a}$

$= \lim_{x \to a} \frac{5(x - a)}{x - a}$

$= \lim_{x \to a} 5$

$= 5$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ の計算

$f(x) = 5x$ なので、$f(x+h) = 5(x+h) = 5x + 5h$ です。したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5(x+h) - 5x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{5x + 5h - 5x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} 5$

$= 5$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = 5$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 5$