関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ について、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つことを確認する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ について、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つことを確認する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

$y = \frac{1}{x-1}$ とおきます。

$x$ と $y$ を入れ替えて、$x = \frac{1}{y-1}$ とします。

$y$ について解きます。

$x(y-1) = 1$

$xy - x = 1$

$xy = 1 + x$

$y = \frac{1+x}{x}$

よって、逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x}$ となります。

次に、$f(f^{-1}(x))$ を計算します。

$f(f^{-1}(x)) = f(\frac{x+1}{x}) = \frac{1}{\frac{x+1}{x} - 1}$

$= \frac{1}{\frac{x+1-x}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

したがって、$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$f(f^{-1}(x)) = x$ が成り立つ。